空间与坐标

我们要用一套语言描述空间

物理上的空间是一个客观存在的概念。我们生活在三维空间中，能感知到物体相对于我们的三维位置。然而空间并不仅仅只是无穷的点的集合，在此集合中还需要加入一些附加的结构，例如，点与点之间是有距离、方位关系的，描述如何在空间中计算点与点之间的关系的方式就是这些附加结构。我们将带有合理附加结构的空间称为“流形”（Manifold）。

如果我们想要描述流形中的点，就需要找到一个或者一系列的映射，将该流形映射至一具有合理结构的数学空间中。例如：

• 在平常生活中进行物理分析，我们会默认将物理空间\({\cal M}\)映射至某一个三维实数向量空间\(\mathbb{R}^3\) (\(F: {\cal M}\rightarrow \mathbb{R}^3\))，空间中的任意点每个点可以用\(\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\)表示。这种映射关系并不唯一，例如，我们可以任意选取原点位置以及坐标轴的取向，以及我们可以采取不同类型的坐标系（笛卡尔坐标，球坐标等）。
• 要描述汽车在一条蜿蜒的公路上的行进，我们可以将该公路按照一定的距离单位映射至一维实数空间\(\mathbb{R}\)中进行分析。
• 一个弯曲的二维表面可被映射至二维实数向量空间\(\mathbb{R}^2\)。这种映射可以很抽象，很扭曲，但只要能保证能用两个参量唯一确定该表面上的某个点，且邻近的点在映射后的空间内依然是临近的（连续映射），就可以被分析（只是在难易程度上会有区别）。