如果你要思考

当我们要思考这个世界的时候，到底要如何思考？

参量

一个物理系统是不同状态的集合，我们举几个广义的例子：

• 一枚硬币可以处于“正”或“反”两种状态中的一种：该物理系统是正反两种状态的集合。
• 一个在一维空间运动的质点，它在空间中不同位置可以看作是不同的状态：该物理系统与实数集\(\mathbb{R}\)具有相同结构。
• 某条确定的二次函数曲线\(f(x)=ax^2+bx+c\)是全体二次函数组成的集合中的一个特定的状态。

在我们知道了一个物理系统之后，接下来所需要做的就是用语言描述这个系统。通常来讲，我们会使用数学这门语言对其进行建模。为了清楚的区分系统中每一个状态，我们会使用参量来表述这个系统。例如，对于上述几个例子：

• 若将“正”记为1， “反”记为-1，则一枚硬币所组成的系统可以通过一个离散的值\(x\in \{1, -1\}\)来确定。
• 若采用特定的从质点运动空间S到实数集\(\mathbb{R}\)的映射\(f:S\rightarrow \mathbb{R}\)。则该物理系统可用一实值\(x\in \mathbb{R}\)确定。对于N维运动的单个质点则可使用N个实数值组成的矢量来表示。
• 我们可以使用三维矢量\((a,b,c)\)来表示某个特定的二次函数曲线。

我们需要度量一个系统的信息量：至少需要多少个参量才能完全确定某一个物理系统（也不一定完全确定，但至少要完全确定这个系统的某些性质）。

现在请想像一下，对于一个在重力场中的复杂曲面上随意滚动的小球（方便起见可视为质点），它的信息量是多少？我们需要知道哪些量才能完全确定这个小球的状态？乍一看我们可能觉得只需要知道它在空间中的坐标即可确认其状态，然而并不是这样。我们可以想像这样一个场景，这个小球可以存在于空间某一点处，但这时候它可以向任意方向运动，也就是我们如果仅仅知道小球在某一时刻的坐标，是完全无法推测其下一时刻到底在哪里的。因此我们还需要知道小球在下一时刻会向哪里运动，也就是小球的速度。这样才能完整的表示小球的状态。这时候你可能会有疑问，那速度的变化（即加速度）为什么不是一个参量呢？在本例中，小球的加速度取决于他所在的复杂曲面上那一点的梯度（山坡越斜，加速度越大）因此加速度可以被其坐标\(\bf{x}\)直接确定，也就是可以写作\(x\)的函数形式。因此它并不是个独立的参量。

在绝大多数物理系统中，速度的变化都可以写成是坐标与速度的函数形式（磁场中运动的带电粒子就同时依赖于速度和坐标），因此我们在分析物理问题时通常就会认为得知坐标和速度即可确定整个系统。当然，也有对力学体系增加更高阶的相互作用以及参数形式的研究，但这不在本文的考虑范围之中了。

限制（对称性）

如果这个世界是完全没有限制的，那一切的一切将会变得乱七八糟，因为在这种环境下物理定律将可以是任何形式。好在我们的世界有着诸多的限制因素。只有满足这些限制的理论才是最“第一性原理”的，若是不满足，则必有更加基础的理论潜藏在背后亟待发现。我们人类假定自然界是满足下述对称性的：

• 空间平移对称性：在外界环境因素一致的情况下，对于一个物理系统，在空间A点做实验与在空间B点做实验的结果是一致的。
• 时间平移对称性：在外界环境因素一致的情况下，对于一个物理系统，在昨天做实验与在今天做实验的结果是一致的。
• 空间旋转对称性：一个物理系统进行一定的空间旋转后做实验所得到的结果是一致的。
• 局域性：在某一处所发生的事件会首先影响其附近。
• 信息的传递存在最大速度：即光速。这导致了洛伦兹对称性（你也可以理解为时间-空间旋转对称性）。

规律

当我们找到了描述不同状态的参数以及限制后，接下来才是我们感兴趣的：寻找物理系统的变化规律（运动方程 Equation of Motion），即物理系统如何从一个态演化至另一个态。不过如果要从第一性原理的角度考虑如何得到运动方程，我们还需先构造出满足限制条件，且包含体系所有信息的一个函数（或泛函），通过对这个具有所有信息的函数（或泛函）进行操作，将运动方程提取出来（因为该方程包含体系内充足的信息量，所以提取出相应的信息是完全可能的）。